Cara Pembuktian Identitas Trigonometri

Pada kesempatan kali ini kami akan mempelajari pembuktian identitas dalam trigonometri. Sebelum sobat mempelajari membuktikan identitas trigonometri, maka terlebih dahulu sobat harus paham dengan trigonometri dasar yaitu sinus yang disebut “sin”, cosinus yang disebut “cos”, tangen yang disebut “tan”, cosecan yang disebut “csc”, secan yang disebut “sec”, dan cotangen yang disebut “cot”. Selanjutnya sobat, simak gambar berikut ini.


014 Cara Pembuktian Identitas Trigonometri
segitiga siku-siku

Nah pada gambar segitiga siku-siku ABC di atas maka akan diperoleh pada ketentuan dasar trigonometri yaitu :

  • Sin α = sisi depan/sisi miring = a/b
  • Cos α = sisi samping/sisi miring = c/b
  • Tan α = sisi depan/sisi samping = a/c
  • Csc α = sisi miring/sisi depan = b/a
  • Sec α = sisi miring/sisi samping = b/c
  • Cot α = sisi miring/sisi depan = c/a

Tidak hanya itu sobat, tan α, csc α, sec α, dan cot α juga dapat dibentuk dengan cara lain :

  • Tan α = a/c
  • Tan α = (a/b)/(c/b)

Jadi rumus Tan α = sin α/cos α

  • Csc α = b/a
  • Csc α = 1/(a/b)

Jadi rumus Csc α = 1/sin α

  • Sec α = b/c
  • Sec α = 1/(c/b)

Jadi rumus Sec α = 1/cos α

  • Cot α = c/a
  • Cot α = 1/( a/c)

Jadi rumus Cot α = 1/tan α

Nah Sekarang sobat buktikan bahwa sin2 α + cos2 α = 1 dengan menggunakan teorema pythagoras sebagai berikut :
b2 = a2 + c2

  • (a/sin α)2 = (b.sin α)2 + (b.cos α)2
  • a2/sin2 α = b2.sin2 α + b2.cos2 α
  • a2/sin2 α = b2(sin2 α + cos2 α)
  • a2/ b2sin2 α = sin2 α + cos2 α
  • a2/a2 = sin2 α + cos2 α

1 = sin2 α + cos2 α (terbukti)

Sobat dengan menggunakan persamaan trigonometri dasar tersebut maka persamaan identitas trigonometri sin2 α + cos2 α = 1 dapat sobat buktikan sebagai berikut :

sin2 α + cos2 α = (a/b)2 + (c/b)2
= a2/b2 + c2/b2
= (a2 + c2)/b2
= b2/b2

sin2 α + cos2 α = 1 (terbukti)

Jadi dengan uraian diatas terbukti bahwa sin2 α + cos2 α = 1.

Sobat, dari persamaan identitas trigonometri sin2 α + cos2 α = 1 dapat pula dibentuk identitas lain yaitu sebagai berikut :

  1. Jika dibagi dengan sin2 α maka akan diperoleh :
    • sin2 α + cos2 α = 1
    • sin2 α/sin2 α + cos2 α/sin2 α = 1/sin2 α
    • 1 + cot2 α = csc2 α

    csc2 α – cot2 α = 1

  2. Jika dibagi dengan cos2 α maka akan diperoleh :
    • sin2 α + cos2 α = 1
    • sin2 α/cos2 α + cos2 α/cos2 α = 1/cos2 α
    • tan2 α + 1 = sec2 α

    sec2 α – tan2 α = 1

Perhatikan gambar dibawah ini.


014 Cara Pembuktian Identitas Trigonometri
Identitas Trigonometri

Keterangan gambar diatas :

  1. Identitas pada kotak warna merah dikatakan sebagai identitas kebalikan pada trigonometri.
  2. Identitas pada kotak berwarna biru dikatakan sebagai identitas Pythagoras pada trigonometri.
  3. Identitas terakhir, tan α dan cot α pada kotak warna cokelat dikatakan sebagai identitas rasio pada trigonomerti.
Tags:

Leave a Reply