Materi dan soal Induksi Matematika

Untuk membuktikan suatu rumus dengan memakai induksi matematika itu ada tiga langkah yang harus dilakukan, yaitu : pertama, kita buktikan untuk nilai n = 1. Apakah rumus yang akan kita buktikan bernilai benar?. Jika benar, kita lanjutkan ke langkah kedua, kita masukkan nilai n = k. waahhhh….macam mana pula ini maksudnya?. Hehe…tenang dulu teman – teman. n = k itu maksudnya kita ganti n dalam rumus yang akan kita buktikan dengan k. gampang kan. Tinggal diganti aja ga usah bingung. Kemudian kita sekarang lanjut ke langkah yang ketiga, yaitu kita substitusikan n = k + 1 ke dalam rumus. Nah, ini yang butuh penjelasan lebih lanjut. Kapan hal ini terbukti?. Jika untuk nilai n = k + 1 bentuknya bersesuaian dengan n = k dalam rumus yang kita mau buktikan sama atau bersesuain, maka rumus tersebut terbukti. Bingung kan teman – teman, baiklah biar tidak bingung kita langsung saja mulai dengan contoh – contoh.

images-33 Materi dan soal Induksi Matematika

Contoh 1 # :

 

Buktikan bahwa :

images-33 Materi dan soal Induksi Matematika

Bukti :

Pertama, kita buktikan nilai tersebut untuk n = 1. Untuk n = 1, nilai fungsi tersebut adalah images-33 Materi dan soal Induksi Matematika (benar). Mengerti kan kenapa saya bilang benar?. ‘Benar’ maksudnya bahwa jika deret bilangan tersebut dijumlah sampai satu suku saja maka penjumlahannya akan bernilai 2 (dua). Kemudian kita cocokkan dengan rumus yang disebelah kanan yaitu images-33 Materi dan soal Induksi Matematika, ternyata memberikan hasil yang sama yaitu 2 (dua). Itulah maksud kata ‘benar’ itu gess !.

Kedua, kita buktikan untuk n = k. sehingga deret penjumlahan di atas menjadi :

images-33 Materi dan soal Induksi Matematika

images-33 Materi dan soal Induksi Matematika

Untuk n = k ini kita asumsikan bernilai benar.

Ketiga, kita buktikan untuk n = k + 1

images-33 Materi dan soal Induksi Matematika

images-33 Materi dan soal Induksi Matematika

images-33 Materi dan soal Induksi Matematika

ingat :

images-33 Materi dan soal Induksi Matematika

images-33 Materi dan soal Induksi Matematika

Kemudian kita tunjukkan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan. Yang menjadi acuan atau patokan adalah rumus yang disebelah kanan. Berarti yang disebelah kiri kita upayakan sama dengan ruas kanan. Sehingga :

images-33 Materi dan soal Induksi Matematika

Agar ruas kiri berbentuk kuadrat seperti di ruas kanan, maka persamaan di ruas kiri kita atur. Kita tahu bahwa :

images-33 Materi dan soal Induksi Matematika

sehingga :

images-33 Materi dan soal Induksi Matematika

images-33 Materi dan soal Induksi Matematika

Sampai disini terlihat ruas kiri sama dengan ruas kanan dan bentuk rumusnya bersesuain saat kita memasukkan n = k.

Karena ketiga rumus penjumlahan di atas benar untuk ketiga langkah, maka dapat disimpulkan bahwa penjumlahan

images-33 Materi dan soal Induksi Matematika

terbukti benar .

Contoh 2 # :

Buktikan bahwa :

images-33 Materi dan soal Induksi Matematika

Bukti :

Pertama, untuk n = 1

Nilai penjumlahan deret tersebut adalah

images-33 Materi dan soal Induksi Matematika (Benar)

 

Kedua, untuk n = k

images-33 Materi dan soal Induksi Matematika

images-33 Materi dan soal Induksi Matematika

 

Ketiga , untuk n = k + 1

images-33 Materi dan soal Induksi Matematika

images-33 Materi dan soal Induksi Matematika

images-33 Materi dan soal Induksi Matematika

images-33 Materi dan soal Induksi Matematika

images-33 Materi dan soal Induksi Matematika

images-33 Materi dan soal Induksi Matematika

Bagian terakhir terlihat bahwa ruas kiri dan kanan sama.

Karena langkah pertama, kedua, dan ketiga terpenuhi maka rumus tersebut terbukti.

Rate this article!
Tags:

Leave a Reply