Mencari Rumus Barisan Aritmatika yang Belum Di ketahui Suku Pertamanya

Suku ke-n (Un) Barisan Aritmatika. Pada pembahasan sebelumnya, telah dibahas cara menurunkan rumus suku ke-n barisan aritmatika berdasarkan hubungan antara beda dengan dua suku terdekat. Bedasarkan penurunan tersebut, diperoleh rumus umum menentukan suku ke-n yaitu Un = a + (n – 1)b, dengan a merupakan suku pertama dan b adalah beda barisan. Jika a dan b diketahui, maka rumus suku ke-n dapat ditentukan dengan mudah dengan cara mensubstitusi nilai a dan b ke rumus umum. Lalu bagaimana jika suku pertama (a) tidak diketahui?

images-16 Mencari Rumus Barisan Aritmatika yang Belum Di ketahui Suku Pertamanya

Sebuah Suku dan Beda Diketahui

Jika di dalam soal diberikan beberapa suku dan beda barisan aritmatikan namun suku pertamanya tidak diketahui, maka rumus suku ke-n dapat ditentukan dengan menentukan suku pertamanya terlebih dahulu. Karena b diketahui, maka suku pertama dapat dengan mudah ditentukan.

Langkah pertama yang dapat kita lakukan adalah dengan menyusun persamaan linear dua variabel dari salah satu suku yang diketahui. Kemudian substitusi nilai b ke dalam persamaan yang terbentuk untuk memperoleh nilai a. Langkah terkahir, substitusi nilai a dan b ke persamaan umum suku ke-n (Un).

Berdasarkan penjabaran tersebut, maka berikut langkah-langkah
menentukan rumus suku ke-n (Un) dalam variabel n, jika suku pertama
tidak diketahui tapi bedanya diketahui :
1). Susun persamaan yang bersesuaian dengan salah satu suku
2). Substitusi nilai b untuk memperoleh suku pertamanya
3). Substitusi nilai a dan b ke rumus umum.

Contoh :
Diketahui kesembilan suatu
barisan aritmatika adalah 39. Jika beda barisan tersebut adalah 3, maka tentukanlah
rumus suku ke-n barisan tersebut dan nyatakan dalam variabel n.

Pembahasan :
Dik : U9 = 39, b = 3
Dit : Un = …. ?

Langkah #1 : Menyusun Persamaan yang Bersesuaian
Persamaan untuk suku ke-9 :
⇒ U9 = 39
⇒ a + (9 – 1)b = 39
⇒ a + 8b = 39

Langkah #2 : Substitusi nilai b ke Persamaan yang Diperoleh
⇒ a + 8b = 39
⇒ a + 8(3) = 39
⇒ a + 24 = 39
⇒ a = 39 – 24
⇒ a = 15

Langkah #3 : Substitusi Nilai a dan b ke Rumus Umum
⇒ Un = a + (n – 1)b
⇒ Un = 15 + (n – 1)3
⇒ Un = 15 + 3n – 3
⇒ Un = 12 + 3n
⇒ Un = 3n + 12

Jadi, rumus suku ke-n (dinyatakan dalam n) untuk barisan tersebut adalah Un = 3n + 12.

Dua Suku Diketahui

Jika di dalam sebuah soal diberikan dua atau beberapa suku dari barisan aritmatika namun suku pertamanya tidak diketahui, maka rumus suku ke-n barisan tersebut dapat ditentukan dengan cara menentukan beda dan suku pertamanya terlebih dahulu.

Langkah pertama yang dapat dilakukan adalah menyusun persamaan yang bersesuaian dengan suku-suku yang diketahui. Persamaan ini diperoleh berdasarkan hubungan antara suku pertama, beda, dan suku ke-n pada rumus umum suku ke-n (Un).

Dari suku-suku yang diketahui kita dapat menyusun setidaknya dua persamaan linear dua variabel dalam variabel a dan b (dimana a adalah suku pertama barisan dan b adalah beda barisan). Selanjutnya, dengan memanfaatkan metode subtitusi atau metode eliminasi, kita selesaikan sistem persamaan linear dua variabel yang terbentuk.

Dari proses penyelesaian persamaan linear tersebut, akan diperoleh nilai a dan b. Karena nilai a dan b sudah diketahui, maka selanjutnya tinggal mensubstitusi nilai tersebut ke persamaan atau rumus umum Un = a + (n – 1)b sehingga diperoleh persamaan dalam variabel n.

Berdasarkan penjabaran tersebut, maka berikut langkah-langkah menentukan rumus suku ke-n (Un) dalam variabel n, jika suku pertama tidak diketahui :
1). Susun persamaan yang bersesuaian dengan suku-suku yang diketahui
2). Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel yang terbentuk
3). Substitusi nilai a dan b ke rumus umum.

Contoh :
Jika suku ketiga dan suku kesembilan suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah 21 dan 39, maka tentukanlah rumus suku ke-n barisan tersebut dan nyatakan dalam variabel n.

Pembahasan :
Dik : U3 = 21, U9 = 39
Dit : Un = …. ?

Langkah #1 : Menyusun Persamaan yang Bersesuaian
Persamaan untuk suku ke-3 :
⇒ U3 = 21
⇒ a + (3 – 1)b = 21
⇒ a + 2b = 21

Persamaan
⇒ U9 = 39
⇒ a + (9 – 1)b = 39
⇒ a + 8b = 39

Dengan demikian kita peroleh dua persamaan lienar dua variabel yaitu :
1). a + 2b = 21
2). a + 8b = 39

Langkah #2 : Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear yang Terbentuk
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel yang kita peroleh di langkah pertama, kita dapat menggunakan metode eliminasi atau substitusi. Pada pembahasan ini, digunakan metode substitusi.

Dari persamaan (1) :
⇒ a + 2b = 21
⇒ a = 21 – 2b

Substitusi persamaan a di atas ke persamaan (2) :
⇒ a + 8b = 39
⇒ (21 – 2b) + 8b = 39
⇒ 21 – 2b + 8b = 39
⇒ 6b = 39 – 21
⇒ 6b = 18
⇒ b = 18/6
⇒ b = 3

Selanjutnya substitusi nilai b ke persamaan (1) :
⇒ a = 21 – 2b
⇒ a = 21 – 2(3)
⇒ a = 21 – 6
⇒ a = 15

Langkah #3 : Substitusi Nilai a dan b ke Rumus Umum
Pada langkah kedua kita sudah memperoleh nilai a dan b barisan tersebut. Itu artinya kita sudah tahu berapa suku pertama dan beda barisan itu. Langkah terakhir, tinggal masukkan nilai a dan b :
⇒ Un = a + (n – 1)b
⇒ Un = 15 + (n – 1)3
⇒ Un = 15 + 3n – 3
⇒ Un = 12 + 3n
⇒ Un = 3n + 12

Jadi, rumus suku ke-n (dinyatakan dalam n) untuk barisan tersebut adalah Un = 3n + 12.

Tags:

Leave a Reply