Menentukan Suku Tengah Dari Barisan Aritmatika

Suku Tengah Barisan Aritmatika. Selain suku pertama, suku ke-n, dan beda barisan, dalam pembahasan barisan aritmatika juga dikenal istilah suku tengah. Suku tengah merupakan istilah yang merujuk pada bilangan yang berada di tengah-tengah suatu barisan. Suku tengah umumnya merupakan sebuah suku atau sebuah bilangan (bukan dua atau beberapa suku) sehingga pembahasan suku tengah khusus untuk barisan aritmatika yang jumlah sukunya ganjil. Mengapa demikian? Karena pada barisan yang jumlah sukunya genap, maka barisan tersebut terbagi dua bagian sama panjang dan tidak ada suku tengah. Kalaupun ada suku tengah, maka suku tersebut merujuk pada dua buah suku paling tengah bukan sebuah suku. Untuk lebih jelasnya perhatikan pembahasan berikut ini.

images-29 Menentukan Suku Tengah Dari Barisan Aritmatika

Pengertian Suku Tengah

Suku ke-n suatu barisan umumnya dinyatakan dengan simbol Un dimana n menyatakan banyak atau nomor suku. Suku pertama, suku kedua, dan suku ketiga secara berturut-turut ditulis sebagai U1, U2, U3. Perhatikan bahwa penomoran suku dimulai dari 1, 2, 3, dan seterusnya. Tidak pernah disebut suku kedua setengah atau sebagainya.

Karena n sebagai nomor atau jumlah suku merupakan bilangan bulat positif bukan nol atau bilangan asli, maka tidak ada suku yang dinyatakan dalam nomor pecahan atau desimal. Oleh sebab itu, pembahasan mengenai suku tengah dikhususkan untuk barisan yang jumlah sukunya ganjil.

Sebagai contoh, sebuah barisan aritmatika terdiri dari sembilan suku sebagai berikut :
2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26.

Pada contoh di atas, yang disebut suku tengah adalah suku kelima yaitu 14. Pada barisan tersebut jelas dapat dilihat bahwa suku kelima berada di tengah-tengah barisan dan membagi barisan menjadi dua bagian yang sama besar (4 suku di kiri dan 4 suku di kanan).

Sebagai perbandingan, perhatikan barisan aritmatika dengan sepuluh suku berikut :
2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29.

Pada contoh di atas, tidak ditemukan sebuah suku tengah sebab kalau dibagi menjadi dua bagian akan dihasilkan dua bagian yang sama besar tanpa pembagi. Dengan kata lain, karena jumlah sukunya genap, maka tidak ada sebuah suku yang membagi barisan itu menjadi dua bagian sama besar.

Kalaupun suku tengah diartikan sebagai suku yang berada di tengah-tengah, maka pada contoh di atas akan ada dua suku yang berada di tengah yaitu 14 dan 17. Dalam hal ini tidak lagi sesuai dengan istilah suku tengah yang merujuk pada satu atau sebuah suku.

Berdasarkan dua contoh tersebut, maka dapat disimpulkan bahwa suku tengah adalah sebuah suku yang berada di tengah-tengah barisan dengan jumlah suku ganjil. Suku tengah membagi barisan tersebut menjadi dua bagian sama besar.

Rumus Suku Tengah Barisan Aritmatika

Misal diberikan barisan aritmatika dengan suku ganjil sebanyak n suku, maka pada barisan tersebut terdapat sebuah suku tengah yang biasanya disimbolkan dengan Ut. Susunan suku tengah dalam barisan aritmatika dapat ditulis sebagai berikut : U1, …, Ut, …., Un ; dengan n ganjil.

Hubungan antara suku tengah dan beda barisan adalah sebagai berikut:
⇒ Ut = U1 + ½(n – 1)b
⇒ Ut = a + ½(n – 1)b

Hubungan antara suku terakhir dan beda barisan adalah sebagai berikut:
⇒ Un = U1 + (n – 1)b
⇒ Un = a + (n – 1)b

Dari kedua persamaan di atas, kita dapat menurunkan suatu rumus yang menyatakan hubungan antara suku tengah, suku pertama, dan suku terakhir barisan aritmatika. Penurunan rumusnya adalah sebagai berikut.

Pada rumus suku tengah kita temukan ½(n – 1)b dan pada rumus suku terkahir kita temukan (n – 1)b. Nah, agar keduanya dapat dikaitkan, maka rumus suku terkakhir kita kali dengan ½ sehingga diperoleh :
⇒ Un = a + (n – 1)b
⇒ ½Un = ½{a + (n – 1)b}
⇒ ½Un = ½a + ½(n – 1)b
½(n – 1)b = ½Un – ½a

Jika persamaan di atas disubtitusi ke rumus suku tengah, maka diperoleh :
⇒ Ut = a + ½(n – 1)b
⇒ Ut = a + ½Un – ½a
⇒ Ut = a – ½a + ½Un
⇒ Ut = ½a + ½Un
⇒ Ut = (a + Un)/2

Dengan demikian, hubungan antara suku pertama, suku tengah, dan suku terakhir untuk barisan aritmatika dapat dinyatakan dengan rumus berikut:

Ut = a + Un
2

Keterangan :
Ut = suku tengah barisan aritmatika
a = suku pertama barisan aritmatika
Un = suku terakhir barisan aritmatika (n ganjil).

Contoh 1 :
Sebuah barisan aritmatika memiliki jumlah suku ganjil. Jika suku pertamanya 2 dan suku terkahirnya adalah 14, maka tentukanlah suku tengah barisan tersebut.

Pembahasan :
Dik : a = 2, Un = 14
Dit : Ut = …. ?

Berdasarkan rumus suku tengah :
⇒ Ut = (a + Un)/2
⇒ Ut = (2 + 14)/2
⇒ Ut = 16/2
⇒ Ut = 8

Jadi, suku tengah barisan tersebut adalah 8.

Contoh 2 : 
Suatu barisan aritmatika terdiri dari tujuh suku. Jika suku pertama dan beda barsian tersebut adalah 2 dan 2, maka tentukan suku tengah barisan tersebut!

Pembahasan :
Dik : a = 2, b = 2, n = 7
Dit : Ut = … ?

Berdasarkan hubungan suku tengah dan beda barisan :
⇒ Ut = a + ½(n – 1)b
⇒ Ut = 2 + ½(7 – 1)2
⇒ Ut = 2 + ½(6)2
⇒ Ut = 2 + 6
⇒ Ut = 8

Jadi, suku tengah barisan tersebut adalah 8.

Perhatikan bahwa barisan aritmatika pada soal pertama dan soal kedua adalah sama namun model soalnya berbeda. Pembahasan soal di atas sekaligus menunjukkan pengunaan dan hubungan kedua rumus suku tengah yang telah dibahas.

Tags: