Rumus Penjumlahan Pada Barisan Aritmatika

Banyak Suku Barisan Aritmatika. Suatu barisan aritmatika terdiri dari beberapa suku yang tersusun secara berurut. Dari beberapa suku tersebut, ada yang bertindak sebagai suku pertama, suku tengah, atau suku terakhir. Pada beberapa pembahasan sebelumnya telah dibahas beberapa kondisi dalam menentukan suku pertama dan suku ke-n suatu barisan artimatika. Pada kesempatan ini, edutafsi akan membahas cara menentukan jumlah atau banyak suku dalam suatu barisan aritmatika. Sama seperti penentuan suku barisan, cara menentukan banyak suku juga tergantung pada kondisi yang diberikan dalam soal. Kondisi yang umum antaralain menentukan jumlah suku jika suku pertama, suku tengah, dan suku terakhir diketahui.

images-30 Rumus Penjumlahan Pada Barisan Aritmatika

Suku Pertama dan Suku Terakhir Diketahui

Jumlah atau banyak suku suatu barisan aritmatika umumnya disimbolkan dengan huruf “n”. Selain menyatakan banyak suku, n juga menyataka penomoran suku tersebut yang dimulai dari 1, 2, 3, 4, dan seterusnya. Suku pertama dinomori dengan 1, suku kedua diberi nomor 2, suku ketiga diberi nomor 3, dan begitu seterusnya.

Suku pertama merupakan suku awal atau bilangan awal yang berada paling kiri pada barisan aritmatika. Suku pertama biasa disimbolkan dengan “U1” atau ‘a’. Selain suku pertama, dikenal juga istilah suku ke-n yang biasa ditulis sebagai “Un” dengan n menyatakan nomor sukunya. Suku ke-2 ditulis U2, suku ketiga ditulis U3, dan begitu seterusnya.

Selain menyatakan suku ke-n barisan aritmatika, pada pembahasan subtopik tertentu, Un juga menyatakan suku terakhir suatu barisan aritmatika. Sedangkan nilai n yang berada pada suku terakhir itu sekaligus menyatakan banyak atau jumlah suku barisan aritmatika.

Dengan kata lain, suku terakhir suatu barisan menunjukkan banyak suku dalam barisan tersebut. Misalnya jika suku terakhir barisan aritmatika adalah suku ke-20, maka banyak suku dalam barisan tersebut adalah 20. Jika suku terakhirnya adalah suku ke-15, maka banyak sukunya adalah 15 dan begitu seterusnya.

Jika dalam soal suku pertama dan suku terakhir diketahui, maka banyak suku barisan tersebut dapat ditentukan dengan informasi tambahan misalnya diketahui beda atau selisih dua suku sebarang. Langkah penyelesaian:
1). Susun persamaan untuk selisih suku dan tentukan beda barisan
2). Substitusi nilai b ke rumus Un untuk memperoleh nilai n.

Contoh :
Diketahui selisih antara suku kedelapan dan suku ketiga suatu barisan aritmatika adalah 10. Jika suku pertama dan suku terakhir barisan tersebut adalah 5 dan 23, maka tentukanlah banyak suku dalam barisan tersebut!

Pembahasan :
Dik : U8 – U3 = 10, a = 5, Un = 23
Dit : n = … ?

Langkah #1 : menyusun persamaan untuk selisih suku
⇒ U8 – U3 = 10
⇒ (a + 7b) – (a + 2b) 10
⇒ a – a + 7b – 2b = 10
⇒ 5b = 10
⇒ b = 2

Langkah #2 : mensubstitusi nilai b ke rumus umum Un
⇒ Un = 23
⇒ a + (n – 1)b = 23
⇒ 5 + (n – 1)2 = 23
⇒ 5 + 2n – 2 = 23
⇒ 3 + 2n = 23
⇒ 2n = 23 – 3
⇒ 2n = 20
⇒ n = 10

Jadi, banyak suku dalam barisan tersebut adalah 10.

Suku Tengah dan Suku Terakhir Diketahui

Suku tengah (Ut) merupakan suku yang berada di tengah barisan aritmatika dan membagi barisan tersebut menjadi dua bagian sama besar. Suku tengah merupakan pembahasan khusus untuk barisan aritmatika yang memiliki jumlah suku ganjil.

Jika dalam soal suku tengah dan suku terakhir diketahui, maka banyak suku barisan tersebut dapat ditentukan bila salah satu suku ke-n juga diketahui. Langkah penyelesaian :
1). Tentukan suku awal (a) berdasarkan rumus suku tengah
2). Substitusi nilai a ke persaman suku ke-n yang diketahui
3). Substitusi nilai a dan b ke persamaan Un.

Contoh :
Diketahui suku tengah dan suku terakhir suatu barisan aritmatika adalah 23 dan 43. Jika suku ketiga barisan itu adalah 13, maka tentukanlah banyak suku dalam barisan tersebut!

Pembahasan :
Dik : Ut = 23, Un = 43, U3 = 13
Dit : n = …. ?

Langkah #1 : menentukan a berdasarkan rumus suku tengah
⇒ Ut = (a + Un)/2
⇒ 23 = (a + 43)/2
⇒ 2(23) = a + 43
⇒ 46 = a + 43
⇒ a = 46 – 43
⇒ a = 3

Langkah #2 : mensubstitusi nilai a ke persamaan suku ketiga
⇒ U3 = 13
⇒ a + 2b = 13
⇒ 3 + 2b = 13
⇒ 2b = 13 – 3
⇒ 2b = 10
⇒ b = 5

Langkah #3 : mensubstitusi nilai a dan b ke rumus Un
⇒ Un = 43
⇒ a + (n – 1)b = 43
⇒ 3 + (n – 1)5 = 43
⇒ 3 + 5n – 5 = 43
⇒ 5n – 2 = 43
⇒ 5n = 43 + 2
⇒ 5n = 45
⇒ n = 9

Jadi, banyak suku dalam barisan tersebut adalah 9.

Dari kedua contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa untuk menentukan banyak suku, terlebih dahulu tentukan nilai a dan b barisan tersebut . Jika dua sebarang suku diketahui, maka kita dapat memanfaatkan sistem persamaan linear dua variabel untuk menemukan nilai a dan b kemudian disubstitusi ke rumus umum Un untuk memperoleh nilai n.

Tags: