Soal Dan Pembahasan Materi Dimensi Tiga

Pada pembahasan kali ini, akan dibahas beberapa soal ujian nasional bidang study matematika tentang dimensi tiga atau bangun ruang. Biasanya, ada dua soal tentang bangun ruang yang keluar dalam ujian nasional.
images-4 Soal Dan Pembahasan Materi Dimensi Tiga
Dari beberapa soal yang pernah keluar dalam ujian nasional matematika, model soal dimensi tiga yang paling sering muncul adalah menentukan jarak antara titik ke bidang pada kubus, menentukan jarak titik ke garis, menentukan jarak antar bidang dalam suatu bangun ruang, dan menentukan besar sudut yang dibentuk oleh dua garis atau bidang.

Kumpulan Soal Ujian Nasional Dimensi Tiga

  1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik H dan garis AC adalah …
    1. 8√3 cm
    2. 8√2 cm
    3. 4√6 cm
    4. 4√3 cm
    5. 4√2 cm
    Pembahasan :
    Untuk membantu menyelesaikan soal di atas, ada baiknya jika kita menggambar sebuah kubus sebagai acuan. Berikut ilustrasi untuk kubus ABCD.EFGH :Dari gambar di bawah, dapat dilihat bahwa jarak titik H dan garis AC kita misalkan HO. Selanjutnya perhatikan segitga DOH (daerah yang diwarnai pada gambar).

    Segitiga DOH merupakan segitigu siku-siku dengan siku berada di titik D. Panjang garis DH diketahui 8 cm, sedangkan panjang garis DO adalah setengah dari panjang garis DB.

    Ingat bahwa pada kubus, pajang diagonal bidang dan diagonal sisinya adalah :

    Diagonal ruang = panjang rusuk√3
    Diagonal sisi = panjang rusuk√2

    Karena DB merupakan diagonal bidang, maka panjang garis DO adalah :
    ⇒ DO = ½DB
    ⇒ DO = ½ (8√2)
    ⇒ DO = 4√2 cm

    Nah, sekarang dari segitiga DOH sudah diketahui dua sisinya, dengan demikian panjang garis HO bisa kita cari dengan memanfaatkan dalil phytagoras sebagai berikut :
    ⇒ HO = √DH2 + DO2
    ⇒ HO = √82 + (4√2)2
    ⇒ HO = √64 + 32
    ⇒ HO = √96
    ⇒ HO = √16 x 6
    ⇒ HO = 4√6 cm
    Jadi, jarak titik H ke garis AC adalah 4√6 cm.

    Jawaban : C
  1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jika sudut antara diagonal AG dengan bidang alas ABCD adalah α, maka sin α adalah …
    1. ½√3
    2. ½√2
    3. ⅓√3
    4. ½
    5. ⅓√2
    Pembahasan :
    Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini!

    AG merupakan diagonal ruang. Bidang alas ABCD dapat diwakili dengan diagonal sisi AC. Sudut antara AG dan AC adalah α seperti terlihat pada gambar di atas.

    Selanjutnya perhatikan segitiga AGC. Jika kita lihat, segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku dengan siku di titik c. Panjang CG sama dengan panjang rusuk yaitu 6 cm.

    Karena AG merupakan diagonal ruang dan AC adalah diagonal sisi, maka panjang masing-masing diagonal tersebut adalah :
    ⇒ AG = panjang rusuk√3 = 6√3 cm
    ⇒ AC = panjang rusuk√2 = 2√2 cm

    Dengan menggunakan konsep trigonometri, maka berlaku :

    ⇒ sin α = sisi depan
    sisi miring
    ⇒ sin α = CG
    AG
    ⇒ sin α = 6
    6√3

    ⇒ sin α = ⅓√3

    Jawaban : C
  1. Perhatikan gambar kubus di bawah ini!

    Jarak bidang ACH dan EGB adalah …

    1. 4√3 cm
    2. 2√3 cm
    3. 4 cm
    4. 6 cm
    5. 12 cm
    Pembahasan :
    Berikut digambarkan bidang ACH dan EGB. Pada gambar, jarak antara ACH dan EGB dapat diwakilkan oleh garis PQ.

    Dari gambar di atas, coba perhatikan bidang BOHP. Bidang BOHP merupakan jajargenjang dengan alas HO dan tinggi PQ. Jadi, kita bisa menentukan jarak antara ACH dan EGB dengan mencari tahu tinggi PQ.

    Untuk mengetahui tinggi PQ, maka kita harus tahu dulu luas jajargenjang dan panjang alasnya yaitu panjang HO.

    Untuk mengetahu panjang HO, perhatikan segitiga HDO. Dari segitiga HDO diketahui DH = 6√3 cm. Panjang DO adalah setengah dari panjang DB :
    ⇒ DO = ½DB
    ⇒ DO = ½ (6√3.√2)
    ⇒ DO = ½ (6√6)
    ⇒ DO = 3√6 cm

    Dengan demikian panjang HO adalah :
    ⇒ HO = √DH2 + DO2
    ⇒ HO = √(6√3)2 + (3√6)2
    ⇒ HO = √108 + 54
    ⇒ HO = √162
    ⇒ HO = √81 x 2
    ⇒ HO = 9√2 cm

    Selanjutnya perhatikan bidang BDHF. Bidang BDHF terdiri dari segitiga ODH, segitiga BFP dan jajargenjang BOHP. Dengan demikian berlaku :
    ⇒ Luas BOHP = Luas BDHF – luas ODH – luas BFP

    Karena luas segitiga ODH sama dengan luas segitiga BFP, maka :
    ⇒ Luas BOHP = Luas BDHF – 2 luas ODH
    ⇒ Luas BOHP = (DB x DH) – 2(½ DO x DH)
    ⇒ Luas BOHP = (DB x DH) – (DO x DH)
    ⇒ Luas BOHP = DH (DB – DO)
    ⇒ Luas BOHP = 6√3(6√6 – 3√6)
    ⇒ Luas BOHP = 6√3(3√6)
    ⇒ Luas BOHP = 18√18
    ⇒ Luas BOHP = 54√2 cm

    Nah, sekarang kita sudah bisa menghitung tinggi jajargenjangnya, yaitu :
    ⇒ Luas BOHP = 54√2
    ⇒ alas x tinggi = 54√2
    ⇒ HO x PQ = 54√2
    ⇒ 9√2 PQ = 54√2
    ⇒ PQ = 6 cm
    Jadi, jarak antara bidang ACH dan EGB adalah 6 cm.

    Jawaban : D
  1. Diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH. Besar sudut yang dibentuk oleh garis BG dengan bidang BDHF adalah ….
    1. 90o
    2. 60o
    3. 45o
    4. 30o
    5. 15o
    Pembahasan :
    Perhatikan gambar di bawah ini!

    Pada gambar di atas, titik P merupakan proyeksi titik G pada bidang BDHF dan garis PB  adalah proyeksi garis GB pada bidang BDHF.

    Dengan demikian, sudut antara BG dan BDHF akan sama dengan sudut antara GB dan PB. Dalam gambar sudut tersebut dimisalkan θ.

    Selanjutnya perhatikan segitiga GPB. Segitiga GPB merupakan segitiga siku-siku dengan siku di titik P. Sesuai dengan konsep trigonometri, maka berlaku :

    ⇒ sin θ = sisi depan
    sisi miring
    ⇒ sin θ = GP
    GB
    ⇒ sin θ = ½ diagonal sisi GE
    panjang rusuk√2
    ⇒ sin θ = ½ (panjang rusuk √2)
    panjang rusuk√2

    ⇒ sin θ = ½
    ⇒ θ = 30o

    Jawaban : D
  1. Balok ABDC.EFGH dengan panjang AB = BC = 3cm dan AE = 5 cm. P terletak pada AD sehingga AP : PD = 1 : 2 dan Q pada FG sehingga FQ : QG = 2 : 1. Jika α adalah sudut antar PQ dan ABCD, maka tan α adalah …
    1. ½√5
    2. 1/10 √5
    3. ½√10
    4. 1/7 √14
    5. 1/7 √35
    Pembahasan :
    Perhatikan gambar di bawah ini !

    Dari segitiga POT. Dari segitiga POT diperoleh panjang PT sebagai berikut :
    ⇒ PT = √PO2 + OT2
    ⇒ PT = √32 + 12
    ⇒ PT = √9 + 1
    ⇒ PT = √10 cm

    Perhatikan segitiga PTQ. Dengan konsep trigonometri :

    ⇒ tan α = sisi depan
    sisi samping
    ⇒ tan α = QT
    PT
    ⇒ tan α = 5
    10

    ⇒ tan α = ½√10.

    Jawaban : C
Tags:

Leave a Reply